FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS
A. Fungsi dan
Jenis-jenisnya
1. Pengertian Fungsi
Relasi dari A ke B disebut fungsi apabila setiap elemen himpunan A dipasangkan hanya satu kali pada
elemen himpunan B.
y= f(x) ; artinya y merupakan fungsi x
A = daerah asal (Domain)
B = daerah jelajah (Kodomain)
1. Pengertian Fungsi
Relasi dari A ke B disebut fungsi apabila setiap elemen himpunan A dipasangkan hanya satu kali pada
elemen himpunan B.
y= f(x) ; artinya y merupakan fungsi x
A = daerah asal (Domain)
B = daerah jelajah (Kodomain)
B.Î A dipasangkan
dengan tepat satu y ÎFungsi atau pemetaan adalah suatu relasidari himpunan A ke
Himpunan B dalam hal ini setiap x
B.®Suatu fungsi biasanya dinyatakan dengan huruf kecil, seperti f, g dan h. Suatu fungsi f dari A ke B ditulis dengan f:A
Mis.
A B Ket.
a. domainnya adalah {a, b, c, d }
b. kodomainnya adalah { 1,2,3, 4}
c. range adalah { 2, 3 }
2. Sifat-Sifat Fungsi
a. Fungsi Surjektif
Suatu fungsi dengan daerah hasil sama dengan daerah kodomainnya disebut fungsi surjektif atau fungsi onto
B disebut funsi surjektif jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f sama dengan himpunan B atau Rf¬¬¬ = B®Fungsi f:A
A B
b. Fungsi Injektif
Sebuah fungsi dengan setiap anggota domain yang berbeda mempunyai peta yang berbeda disebut fungsi injektif.(Fungsi satu-satu).
A dan a1 ≠ a2, maka berlaku f(a1) ≠ f(a2).Î B disebut fungsi injektif jika dan hanya jika untuk setiap a1, a2 ®Fungsi f : A
A B
c. Fungsi Bijektif
B denga A = {3, 4, 5} dan B = { a, b, c} dinyatakan dengan pasnagan berurutan f = {(3, a), (4, b), (5, c)}. Disebut fungsi sutrjektif karena range fungsi f sama dengna kodomain fungsi f atau Rf ¬¬ = B.®Misalkan fungsi f : A
A B
B disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika fungsi f sekaligus fungsi surjektif dan injektif.®Fungsi f : A
B. Operasi Aljabar pada Fungsi
Misalkan ditentukan fungsi f(x) dan g(x) maka dapat dituliskan operasi aljabar untuk fungsi-fungsi tersebut sebagai berikut,
1. ¬(f + g) (x) = f(x) + g(x)
2. (f – g ) (x) = f(x) – g(x)
3. (f x g) (x) = f(x) x g(x)
4. (x) =
Contoh.
Diketahui f(x) = x¬¬¬2 + 3x – 1 dan (f + g)(x) = x2 + 5. tentukan g(x)
Jawab.
(f+g)(x) = f(x) + g(x)
x2 + 5 = (x2 + 3x – 1 ) + g(x)
g(x) = (x2 + 5) – (x2 + 3x – 1)
g(x) = x2 + 5 – x2 – 3x + 1
g(x) = -3x + 6
C. Fungsi Komposisi
B.®Suatu fungsi biasanya dinyatakan dengan huruf kecil, seperti f, g dan h. Suatu fungsi f dari A ke B ditulis dengan f:A
Mis.
A B Ket.
a. domainnya adalah {a, b, c, d }
b. kodomainnya adalah { 1,2,3, 4}
c. range adalah { 2, 3 }
2. Sifat-Sifat Fungsi
a. Fungsi Surjektif
Suatu fungsi dengan daerah hasil sama dengan daerah kodomainnya disebut fungsi surjektif atau fungsi onto
B disebut funsi surjektif jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f sama dengan himpunan B atau Rf¬¬¬ = B®Fungsi f:A
A B
b. Fungsi Injektif
Sebuah fungsi dengan setiap anggota domain yang berbeda mempunyai peta yang berbeda disebut fungsi injektif.(Fungsi satu-satu).
A dan a1 ≠ a2, maka berlaku f(a1) ≠ f(a2).Î B disebut fungsi injektif jika dan hanya jika untuk setiap a1, a2 ®Fungsi f : A
A B
c. Fungsi Bijektif
B denga A = {3, 4, 5} dan B = { a, b, c} dinyatakan dengan pasnagan berurutan f = {(3, a), (4, b), (5, c)}. Disebut fungsi sutrjektif karena range fungsi f sama dengna kodomain fungsi f atau Rf ¬¬ = B.®Misalkan fungsi f : A
A B
B disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika fungsi f sekaligus fungsi surjektif dan injektif.®Fungsi f : A
B. Operasi Aljabar pada Fungsi
Misalkan ditentukan fungsi f(x) dan g(x) maka dapat dituliskan operasi aljabar untuk fungsi-fungsi tersebut sebagai berikut,
1. ¬(f + g) (x) = f(x) + g(x)
2. (f – g ) (x) = f(x) – g(x)
3. (f x g) (x) = f(x) x g(x)
4. (x) =
Contoh.
Diketahui f(x) = x¬¬¬2 + 3x – 1 dan (f + g)(x) = x2 + 5. tentukan g(x)
Jawab.
(f+g)(x) = f(x) + g(x)
x2 + 5 = (x2 + 3x – 1 ) + g(x)
g(x) = (x2 + 5) – (x2 + 3x – 1)
g(x) = x2 + 5 – x2 – 3x + 1
g(x) = -3x + 6
C. Fungsi Komposisi
Rumus :
(i) (fog)(x) = f(g(x))
(ii) (gof)(x) = g(f(x))
1. Pengertian Fungsi Komposisi
Misalkan fungsi f dirumuskan dengan f(x) = x+ 1 dan g dirumuskan dengan g(x) = x2.
Dengan menggunakan rumus f(x) = x + 1, untuk
f(1) = 1 + 1®x = 1
f(2) = 2 + 1®x = 2
f(t) = t + 1®x = t
jika x diganti dengan g(x), diperoleh
f(g(x)) = g(x) + 1
= x2 + 1
Misalkan fungsi h(x) = f(g(x)) = x2 + 1.
Fungsi h(x) yang diperoleh dengan cara di atas, dinamakan fungsi komposisi g dan f. fungsi ini ditulis dengan f o g, dibaca “ f bundaran g”.
Dengan cara yang serupa, diperoleh
g(f(x) = g( x + 1 )2
= (x + 1)2
Fungsi g(f(x)) selanjutnya ditulis sebagai (g o f)(x)
C dengan g(b) = c. komposisi fungsi f dan g, ditulis g o f (dibaca : g bundara f ) adalah suatu fungsi yang ditentukan dengan aturan® B, dengan f(a) = b dan fungsi g : B ®Misalkan fungsi f : A
(g o f)(a) = g(f(a))
Pengerjaannya dilakukan pada fungsi f terlebih dahulu, kemudian dilanjutkan fungsi g. hal ini dapat dituliskan (g o f)(a) = g(f(a)).
Contoh :
Diketahui f(x) = 3x + 5 dan g(x) = 2x – 7. Tentukan
a. (f o g )(3)
b. (g o f )(-2)
Jawab :
1) Ada dua cara untuk menentukan nilai dari suatu fungsi komposisi.
a. Cara pertama
Dengan menentukan fungsi komposisinya terlebih dahulu
(f o g )(x) = f(g(x))
= f(2x – 7)
= 3(2x – 7) + 5
= 6x – 21 + 5
= 6x – 16
Untuk memperoleh nilai (f o g )(3), subtitusikan nilai x = 3 ke (f o g )(x), yaitu (f o g )(3) = 6(3) – 16 = 2
Jadi (f o g )(3) = 2
b. Cara kedua
Kita ketahui bahwa (f o g )(3) = 2
Untuk itu, terlebih dahulu kita cari g(3), yaitu g(3) = 2(3) – 7 = -1
Jadi, (f o g )(3) =f(g(3))
= f(-1)
= 3(-1) + 5
= 2
2) Ada dua cara juga untuk menentukan nilainya
a) Cara pertama
(g o f)(x) = g9f(x))
= g(3x + 5)
= 2(3x + 5) – 7
= 6x + 10 – 7
= 6x + 3
Dengan demikian, (g o f)(-2) = 6(-2) + 3= -9
b) Cara kedua
(g o f)(x) = g9f(-2))
= g(3(-2) + 5)
= g(-1)
= 2(-1) – 7
= - 9
Jadi, (g o f)(-2) = - 9
2. Sifat-Sifat Komposisi Fungsi
a. Komposisi fungsi tidak bersifat komutatif, yaitu
(f o g )(x) ≠ (g o f )(x)
Bukti :
Misalkan diketahui fungsi-fungsi
f(x) = 5x – 4
g(x) = 2x + 8
h(x) = x2
Komposisi fungsi f o g dan g o f dapat ditentukan di bawah ini .
a) (f o g )(x) = f(g(x))
= f(2x + 8)
= 5(2x + 8) – 4
= 10x + 36
b) (g o f )(x) = g(f(x))
= g(5x – 4)
= 2(5x – 4) + 8
= 10x – 8 + 8
=10x
Sehingga terbukti (f o g )(x) ≠ (g o f )(x)
b. Komposisi fungsi bersifat asosiatif, yaitu.
((g o h ) o f)(x) = (g o (h o f))(x)
Bukti :
f(x) = 2x + 1
g(x) = x2 – 6x + 7
h(x) = x - 2
Komposisi fungsi ((g o h ) o f)(x) dan (g o (h o f))(x) dapat ditentukan di bawah ini .
a) ((g o h ) o f)(x) = (( g (x – 2) o f)
= (((x-2)2 – 6(x-2) + 7) o f)
= ((x2-4x+4-6x+12+7) o f)
= (x2-10x+23) o f)
= (f(x))2-10 f(x)+23
= (2x+1)2 – 10(2x+1) + 23
= 4x2+4x+1-20x-10+23
= 4x2-16x+14
b) ((g o (h o f))(x) = (g o (h o f)(x)
= (g o (h(2x+1))
= (g o ((2x+1)-2)
= (g o (2x-1))
= (2x-1)2-6(2x-1)+7
= 4x2 -4x+1-12x+6+7
= 4x2-16x+14
Jadi ((g o h ) o f)(x) = (g o (h o f))(x)
c. Terdapat fungsi identitas I(x) = x sehingga (f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x)
Bukti :
Misalkan f(x) = x2 -3x +2 dan I(x) = x
a) (f o I)(x) = f(I(x))
= f(x)
= x2 -3x +2
b) (I o f)(x) = I(f(x)
= I(x2 -3x +2)
= x2 -3x +2
Soal :
R. jika g(x) = x2 – 9 dan (g o f))(x)= 4x2 + 12x. tentukan f(x).® R dan g : R ®1) Diketahui fungsi f: R
Jawab :
Diketahui (g o f)(x)= 4x2 + 12x
(f(x))2 – 9 = 4x2 + 12x
(f(x))2 = 4x2 + 12x + 9
(f(x))2 = (2x + 3)2
F(x) = 2x + 3
Jadi f(x) = 2x + 3
R. jika g(x) = x + 2 dan (f o gf))(x)= 5x + 7, tentukan f(x).® R dan g : R ®2) Diketahui fungsi f: R
Jawab:
(f o gf))(x)= 5x + 7
f(g(x)) = 5x + 7
f(x + 2) = 5x + 7
Ada dua cara untuk menyelesaikan persamaan di atas
a) Cara satu :
f(x + 2) = 5x + 7
Pada ruas kanan harus terbentuk factor (x + 2) sehingga
f(x + 2) = 5x + 7
= 5(x + 2) – 10 + 7
= 5(x + 2) – 3
Karena f(x + 2) = 5(x +2) – 3 maka f(x) = 5x – 3.
Jadi, f(x) 5x – 3
b) Cara dua :
Perhatikan f(x +2) = 5x + 7.
Dari persamaan ini, variable ruas kanan adalah (x + 2), sedangkan variable ruas kanan adalah x. dengan demikian, (x + 2) bersesuaian dengan x.
x + 2 = x
x = x – 2
Jadi, (x + 2) di ruas kiri diubah menjadi x, sedangkan variable x di ruas kanan diubah menjadi x – 2. dengan demikian diperoleh :
f(x) = 5(x – 2) + 7
= 5x – 10 + 7
= 5x – 3
Jadi, f(x) = 5x – 3
Tidak ada komentar:
Posting Komentar