definisi fungsi dan menentukan domain kodomain (tugas softskill)

Menentukan invers
D. Fungsi Invers ( Notasinya f -1 )
f
A B
f
f -1
f -1(y) = x f(x) = x
A yang dinyatakan dengan® B } maka invers dari fungsi f adalah f -1: B Î A, y Î B dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan f = { (x, y) | x ®Jika fungsi f : A
AÎ B, y Îf -1 = { (x, y) | x 
A jika dan hanya jika f merupakan fungsi bijektif (korespondensi satu-satu).® B memiliki fungsi invers (balikan) f -1 : B ®suatu fungsi f: A 
Contoh :
B dengan A = {1, 3, 5} dan B = {2, 6, 8} dan f dinyatakan dengan pasangan beruurtan R= {(1, 2 ), (3, 6), (5, 8)}. Tentukan invers fungsi f dan selidikilah apakah invers fungsi f merupakan sebuah fungsi.®Diketahui fungsi invers f : A 
Jawab :
A, yaitu f -1 = { (2,1), (6, 3), (8, 5)}. Dan tampak bahwa f -1 merupakan sebuah relasi yang merupakan fungsi.®Invers fungsi f adalah f -1 : B 
1. Menentukan Invers Suatu Fungsi
Syaratnya fungsi tersebut bijektif
Langkah-langkahnya :
a) mengubah bentuk y = f(x) menjadi bentuk x = f(x), karena x = f -1(y) maka kita akan memperoleh bentuk f -1 (y) = f(y)
b) setelah memperoleh bentuk f -1 (y) = f(y), ganti variable y dengan variable x sehingga akan memperoleh f -1 (x) yagn sudah dalam variable.
Contoh :
Tentukan rumus invers dari fungsi-fungsi berikut ini .
a) f(x) = 5x + 2
b) f(x) =
Jawab :
a) y = f(x)
y = 5x +2
5x = y – 2
x =
f -1 =
Sehingga f -1 (x) =
b) f(x) =
y = f(x)
y =
xy + 3y = 3 – 4x
4x + xy = 3 – 3y
(4 + y) x = 3 – 3y
x =
f -1(y) =
f -1(x) =
2. Hubungan Invers dengan Komposisi Fungsi
Untuk mengetahui hubungan invers dengan komposisi fungsi, kita perhatikan uraian berikut :
a. f(x) = x + 5
Dapat kita tentukan invers dari fungsi f, yaitu ;
y = f(x)
y = x + 5
x = y – 5
f -1 (y) = y – 5
jadi, f -1 (x) = x – 5
1) (f o f -1 )(x) = f(f 1 (x)) = f(x-5) = (x-5) + 5 = x
2) (f -1 o f )(x) = f-1(f(x)) = f(x+5) = (x+5) – 5 = x
Dengan demikian, diperoleh :
(f o f -1 )(x) = (f -1 o f )(x) =x
b. f(x) = x2 + 6
y = f(x)
y = x2 + 6
x2 = y – 6
±x = 
±f -1 = 
6³ ; x ±f -1 (x) = 
6³ , untuk x ± 6 maka f -1 (x) = ³Untuk domain f adalah x 
Untuk domain f adalah x < 6. oleh karena itu ,³0 maka f -1 (x) = - , untuk x 
1) (f o f -1 )(x) = f(f -1)(x)) = f( ) = ( )2 + 6 = (x – 6) + 6
2) (f -1 o f )(x) = f -1(f )(x)) = f -1(x2 +6) = ( ) = = x
Dengan demikian diperoleh,
(f o f -1 )(x) = (f -1 o f )(x) = x
Dari uraianb di atas, dapat dilihat bahwa komposisi fungsi dengan inversnya akan menghasilkan fungsi identities sehingga secara umum dituliskan sebagai berikut :
(f o f -1 )(x) = (f -1 o f )(x) = x = I(x)
3. Domain, Kodomain serta Grafik Fungsi dan Inversnya
Untuk menentukan domain, kodomain dan grafik fungsi inversnya, kita lihat contoh berikut.
Diketahui fungsi f(x) = 2x + 6. tentukan
a. Carilah f -1
b. Tentukan domain dan kodomain fungsi f agar f(x) mempunyai fungsi invers
Jawab.
a. f(x) = 2x + 6
misalkan y = f(x). dengan demikian,
y = 2x +6
2x = y – 6
x = ½ y – 3
f -1 (y) = ½ y – 3, jadi f -1 (x) = ½ x – 3
y
R}. karena domain dari f -1 (x) merupakan kodomain fungsi f maka kodomain f agar mempunyai fungsi invers adalah himpunan bilangan real. Digambarkan dalam bidang Cartesius :Îb. Domain untuk f adalah semua himpunan bilangan real atau Df = {x | x 
y
6
f(x) = 2x + 6 y = x
-3 0 6 x
-3 f -1(x) = ½ x – 3
E. Invers Fungsi Komposisi
Misalkan f dan g merupakan fungsi maka komposisi fungsi-fungsi itu adalah (f o g)(x) = f(g(x)) dan (g o f)(x) = g(f(x)).
Invers dari komposisi didefinisikan sebagai berikut.
Jika u dan v merupakan komposisi dari fungsi f dan g, yaitu u = f o g dan v = g o f, invers dari fungsi u dan v merupakan komposisi dari invers f dan g yang ditulis
u -1 = (f o g) -1 = g -1 o f -1
v -1 = (g o f) -1 = f -1 o g -1
Lihat diagram panah berikut,
f o g
g f
g -1 f -1
g -1 o f -1
f -1 o g -1
Dari diagram di atas tampak bahwa invers dari fungsi komposisi f o g, yaitu
(f o g) -1 diperoleh dengan memetakan c ke b oleh f -1 , kemudian dilanjutkan dengan memetakan b ke a oleh g -1 . dengan demikian, dapat dituliskan sebagai berikut.
(f o g) -1 (x) = (g -1 o f -1)(x)
Dengan cara yang sama, dapat kita peroleh invers fungsi komposisi g o f, yaitu,
(g o f) -1 (x) =( f -1 o g -1)(x)
Contoh :
Diberikan fungsi f dan g, yaitu f(x) = 5x +8 dan g(x) = x – 5.
a. tentukan (f o g) -1(x)
b. tentukan (g o f) -1(x)
c. apakah (f o g) -1(0) = (g o f) -1(0)
Jawab :
Ada dua cara untuk menentukan invers fungsi komposisi ini.
a. Cara 1 :
(f o g)(x) = f(g(x))
= f(x – 5)
=5(x – 5) + 8
= 5x – 17
(f o g) -1(x) dapat ditentukan sebagai berikut.
Misalkan (f o g)(x) = y
y = (f o g)(x)
y = 5x – 17
x =
(f o g) -1(y) =
(f o g) -1(x) =
Jadi, fungsi invers dari (f o g)(x) adalah (f o g) -1(x) =
Cara 2 :
Kita tentukan dulu f -1 (x) dan g -1 (x).
Misalkan y = f(x)
y = f(x)
y = 5x + 8
5x = y – 8
x =
f -1 (y) =
f -1 (x) =
misalkan y = g(x)
y = g(x)
y = x – 5
x = y + 5
g -1 (y) = y + 5
g -1 (x) = x + 5
dengan demikian, kita dapat menentukan invers dari f o g sebagaiberikut.
(f o g) -1(x) = (g -1 o f -1) (x)
= g -1 o( f -1(x))
= g -1 ( )
= + 5
=
Jadi, fungsi invers dari (f o g) -1(x) =
b. Cara 1 :
(g o f)(x) = g(f(x))
= g(5x + 8) – 5
= 5x + 3
(g o f) -1(x) dapat kita peroleh dengan memisalkan y = (g o f)(x)
y = (g o f)(x)
y = 5x +3
x =
(g o f) -1(y) =
(g o f) -1(x) =
jadi, fungsi invers dari (g o f)(x) adalah (g o f) -1(x) =
Cara 2 :
Dari jawaban a, diperoleh f -1 (x) = dan g -1 (x) = x + 5. dengan demikian diperoleh :
(g o f) -1 = (f -1 o g -1)(x)
= f -1( g -1 (x))
= f -1( x + 5)

Jadi, fungsi invers dari (g o f)(x) adalah (g o f) -1 =
c. Dari jawaban b, diperoleh
(g o f) -1(0) =
(f o g) -1(0) =
Jadi, (g o f) -1(0 ) ≠ (f o g) -1(0)

relasi komposisi dan inver (tugas softskill)

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

A. Fungsi dan Jenis-jenisnya
1. Pengertian Fungsi
Relasi dari A ke B disebut fungsi apabila setiap elemen himpunan A dipasangkan hanya satu kali pada
elemen himpunan B.

y= f(x) ; artinya y merupakan fungsi x

A = daerah asal (Domain)
B = daerah jelajah (Kodomain)

B.Î A dipasangkan dengan tepat satu y ÎFungsi atau pemetaan adalah suatu relasidari himpunan A ke Himpunan B dalam hal ini setiap x 
B.®Suatu fungsi biasanya dinyatakan dengan huruf kecil, seperti f, g dan h. Suatu fungsi f dari A ke B ditulis dengan f:A 
Mis.
A B Ket.
a. domainnya adalah {a, b, c, d }
b. kodomainnya adalah { 1,2,3, 4}
c. range adalah { 2, 3 }
2. Sifat-Sifat Fungsi
a. Fungsi Surjektif
Suatu fungsi dengan daerah hasil sama dengan daerah kodomainnya disebut fungsi surjektif atau fungsi onto
B disebut funsi surjektif jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f sama dengan himpunan B atau Rf¬¬¬ = B®Fungsi f:A
A B
b. Fungsi Injektif
Sebuah fungsi dengan setiap anggota domain yang berbeda mempunyai peta yang berbeda disebut fungsi injektif.(Fungsi satu-satu).
A dan a1 ≠ a2, maka berlaku f(a1) ≠ f(a2).Î B disebut fungsi injektif jika dan hanya jika untuk setiap a1, a2 ®Fungsi f : A 
A B
c. Fungsi Bijektif
B denga A = {3, 4, 5} dan B = { a, b, c} dinyatakan dengan pasnagan berurutan f = {(3, a), (4, b), (5, c)}. Disebut fungsi sutrjektif karena range fungsi f sama dengna kodomain fungsi f atau Rf ¬¬ = B.®Misalkan fungsi f : A 
A B
B disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika fungsi f sekaligus fungsi surjektif dan injektif.®Fungsi f : A 
B. Operasi Aljabar pada Fungsi
Misalkan ditentukan fungsi f(x) dan g(x) maka dapat dituliskan operasi aljabar untuk fungsi-fungsi tersebut sebagai berikut,
1. ¬(f + g) (x) = f(x) + g(x)
2. (f – g ) (x) = f(x) – g(x)
3. (f x g) (x) = f(x) x g(x)
4. (x) =
Contoh.
Diketahui f(x) = x¬¬¬2 + 3x – 1 dan (f + g)(x) = x2 + 5. tentukan g(x)
Jawab.
(f+g)(x) = f(x) + g(x)
x2 + 5 = (x2 + 3x – 1 ) + g(x)
g(x) = (x2 + 5) – (x2 + 3x – 1)
g(x) = x2 + 5 – x2 – 3x + 1
g(x) = -3x + 6
C. Fungsi Komposisi

Jika fungsi f: A  B dilanjutkan fungsi g: B → C maka dapat dinyatakan dengan (g o f) : A → C

Rumus :
(i) (fog)(x) = f(g(x))
(ii) (gof)(x) = g(f(x))
1. Pengertian Fungsi Komposisi
Misalkan fungsi f dirumuskan dengan f(x) = x+ 1 dan g dirumuskan dengan g(x) = x2.
Dengan menggunakan rumus f(x) = x + 1, untuk
f(1) = 1 + 1®x = 1 
f(2) = 2 + 1®x = 2 
f(t) = t + 1®x = t 
jika x diganti dengan g(x), diperoleh
f(g(x)) = g(x) + 1
= x2 + 1
Misalkan fungsi h(x) = f(g(x)) = x2 + 1.
Fungsi h(x) yang diperoleh dengan cara di atas, dinamakan fungsi komposisi g dan f. fungsi ini ditulis dengan f o g, dibaca “ f bundaran g”.
Dengan cara yang serupa, diperoleh
g(f(x) = g( x + 1 )2
= (x + 1)2
Fungsi g(f(x)) selanjutnya ditulis sebagai (g o f)(x)
C dengan g(b) = c. komposisi fungsi f dan g, ditulis g o f (dibaca : g bundara f ) adalah suatu fungsi yang ditentukan dengan aturan® B, dengan f(a) = b dan fungsi g : B ®Misalkan fungsi f : A 
(g o f)(a) = g(f(a))
Pengerjaannya dilakukan pada fungsi f terlebih dahulu, kemudian dilanjutkan fungsi g. hal ini dapat dituliskan (g o f)(a) = g(f(a)).
Contoh :
Diketahui f(x) = 3x + 5 dan g(x) = 2x – 7. Tentukan
a. (f o g )(3)
b. (g o f )(-2)
Jawab :
1) Ada dua cara untuk menentukan nilai dari suatu fungsi komposisi.
a. Cara pertama
Dengan menentukan fungsi komposisinya terlebih dahulu
(f o g )(x) = f(g(x))
= f(2x – 7)
= 3(2x – 7) + 5
= 6x – 21 + 5
= 6x – 16
Untuk memperoleh nilai (f o g )(3), subtitusikan nilai x = 3 ke (f o g )(x), yaitu (f o g )(3) = 6(3) – 16 = 2
Jadi (f o g )(3) = 2
b. Cara kedua
Kita ketahui bahwa (f o g )(3) = 2
Untuk itu, terlebih dahulu kita cari g(3), yaitu g(3) = 2(3) – 7 = -1
Jadi, (f o g )(3) =f(g(3))
= f(-1)
= 3(-1) + 5
= 2
2) Ada dua cara juga untuk menentukan nilainya
a) Cara pertama
(g o f)(x) = g9f(x))
= g(3x + 5)
= 2(3x + 5) – 7
= 6x + 10 – 7
= 6x + 3
Dengan demikian, (g o f)(-2) = 6(-2) + 3= -9
b) Cara kedua
(g o f)(x) = g9f(-2))
= g(3(-2) + 5)
= g(-1)
= 2(-1) – 7
= - 9
Jadi, (g o f)(-2) = - 9
2. Sifat-Sifat Komposisi Fungsi
a. Komposisi fungsi tidak bersifat komutatif, yaitu
(f o g )(x) ≠ (g o f )(x)
Bukti :
Misalkan diketahui fungsi-fungsi
f(x) = 5x – 4
g(x) = 2x + 8
h(x) = x2
Komposisi fungsi f o g dan g o f dapat ditentukan di bawah ini .
a) (f o g )(x) = f(g(x))
= f(2x + 8)
= 5(2x + 8) – 4
= 10x + 36
b) (g o f )(x) = g(f(x))
= g(5x – 4)
= 2(5x – 4) + 8
= 10x – 8 + 8
=10x
Sehingga terbukti (f o g )(x) ≠ (g o f )(x)
b. Komposisi fungsi bersifat asosiatif, yaitu.
((g o h ) o f)(x) = (g o (h o f))(x)
Bukti :
f(x) = 2x + 1
g(x) = x2 – 6x + 7
h(x) = x - 2
Komposisi fungsi ((g o h ) o f)(x) dan (g o (h o f))(x) dapat ditentukan di bawah ini .
a) ((g o h ) o f)(x) = (( g (x – 2) o f)
= (((x-2)2 – 6(x-2) + 7) o f)
= ((x2-4x+4-6x+12+7) o f)
= (x2-10x+23) o f)
= (f(x))2-10 f(x)+23
= (2x+1)2 – 10(2x+1) + 23
= 4x2+4x+1-20x-10+23
= 4x2-16x+14
b) ((g o (h o f))(x) = (g o (h o f)(x)
= (g o (h(2x+1))
= (g o ((2x+1)-2)
= (g o (2x-1))
= (2x-1)2-6(2x-1)+7
= 4x2 -4x+1-12x+6+7
= 4x2-16x+14
Jadi ((g o h ) o f)(x) = (g o (h o f))(x)
c. Terdapat fungsi identitas I(x) = x sehingga (f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x)
Bukti :
Misalkan f(x) = x2 -3x +2 dan I(x) = x
a) (f o I)(x) = f(I(x))
= f(x)
= x2 -3x +2
b) (I o f)(x) = I(f(x)
= I(x2 -3x +2)
= x2 -3x +2
Soal :
R. jika g(x) = x2 – 9 dan (g o f))(x)= 4x2 + 12x. tentukan f(x).® R dan g : R ®1) Diketahui fungsi f: R 
Jawab :
Diketahui (g o f)(x)= 4x2 + 12x
(f(x))2 – 9 = 4x2 + 12x
(f(x))2 = 4x2 + 12x + 9
(f(x))2 = (2x + 3)2
F(x) = 2x + 3
Jadi f(x) = 2x + 3
R. jika g(x) = x + 2 dan (f o gf))(x)= 5x + 7, tentukan f(x).® R dan g : R ®2) Diketahui fungsi f: R 
Jawab:
(f o gf))(x)= 5x + 7
f(g(x)) = 5x + 7
f(x + 2) = 5x + 7
Ada dua cara untuk menyelesaikan persamaan di atas
a) Cara satu :
f(x + 2) = 5x + 7
Pada ruas kanan harus terbentuk factor (x + 2) sehingga
f(x + 2) = 5x + 7
= 5(x + 2) – 10 + 7
= 5(x + 2) – 3
Karena f(x + 2) = 5(x +2) – 3 maka f(x) = 5x – 3.
Jadi, f(x) 5x – 3
b) Cara dua :
Perhatikan f(x +2) = 5x + 7.
Dari persamaan ini, variable ruas kanan adalah (x + 2), sedangkan variable ruas kanan adalah x. dengan demikian, (x + 2) bersesuaian dengan x.
x + 2 = x
x = x – 2
Jadi, (x + 2) di ruas kiri diubah menjadi x, sedangkan variable x di ruas kanan diubah menjadi x – 2. dengan demikian diperoleh :
f(x) = 5(x – 2) + 7
= 5x – 10 + 7
= 5x – 3
Jadi, f(x) = 5x – 3

mengerjakan soal himpunan, diagram venn dan bilangan ( softskill)

Contoh Soal 1

Dalam suatu kelas terdapat 48 siswa. Mereka memilih dua jenis olahraga yang mereka gemari. Ternyata 29 siswa gemar bermain basket, 27 siswa gemar bermain voli, dan 6 siswa tidak menggemari kedua olahraga tersebut.

Gambarlah diagram Venn dari keterangan tersebut.

Tentukan banyaknya siswa yang gemar bermain basket dan voli.

Penyelesaiannya:

Gambar diagram Venn dari keterangan tersebut dapat diperoleh jika banyaknya siswa yang gemar bermain basket dan voli diketahui, maka cari terlebih dahulu banyaknya siswa yang gemar bermain basket dan voli:

bermain basket dan voli = (29 + 27) – (48–6)

bermain basket dan voli = 14 orang

Gambar diagram Venn dari keterangan tersebut adalah

banyaknya siswa yang gemar bermain basket dan voli ada 14 orang

Contoh Soal 2

Dari 50 siswa di suatu kelas, diketahui 25 siswa gemar matematika, 20 siswa gemar fisika, dan 7 siswa gemar kedua-duanya. Tentukan banyaknya siswa yang tidak gemar matematika dan fisika.

Penyelesaiannya:

Jadi banyaknya siswa yang tidak gemar matematika dan fisika ada 12 siswa

Contoh Soal 3

Pada sebuah kelas yang terdiri atas 46 siswa dilakukan pendataan pilihan ekstrakurikuler. Hasil sementara diperoleh 19 siswa memilih KIR, 23 siswa memilih PMR, dan 16 siswa belum menentukan pilihan. Tentukan banyaknya siswa yang hanya memilih PMR saja dan KIR saja.

Penyelesaiannya:

siswa yang memilih PMR dan KIR adalah:

= (19 + 23) – (46 – 16)

= 12

Jadi banyaknya siswa yang hanya memilih PMR saja ada 11 siswa dan KIR saja ada 7 siswa

Contoh Soal 4

Suatu kompleks perumahan mempunyai 43 orang warga, 35 orang di antaranya aktif mengikuti kegiatan olahraga, sedangkan sisanya tidak mengikuti kegiatan apa pun. Kegiatan bola voli diikuti 15 orang, tenis diikuti 19 orang, dan catur diikuti 25 orang. Warga yang mengikuti bola voli dan catur sebanyak 12 orang, bola voli dan tenis 7 orang, sedangkan tenis dan catur 9 orang. Tentukan banyaknya warga yang mengikuti ketiga kegiatan olahraga tersebut.

Penyelesaian:

misalkan yang mengikuti ketiga kegiatan olahraga tersebut adalah x maka yang ikut:

voli dan tenis saja = 7-x

tenis dan catur saja = 9-x

voli dan catur saja = 12-x

voli saja = 15 –(12-x)-(7-x)-x = -4+x

tenis saja = 19 –(9-x)-(7-x)-x = 3+x

catur saja saja = 25 –(9-x)-(12-x)-x = 4+x

maka diagram vennya menjadi:

dari diagram venn di atas yang mengikuti ketiga kegiatan olahraga tersebut adalah

=>> 35 = 7-x + 9-x + 12-x + -4+x + 3+x + 4+x +x

=>> 35 = 31 +x

=>> x = 4

jadi yang mengikuti ketiga kegiatan olahraga tersebut adalah 4 orang

Contoh Soal 5

Dari sekelompok olahragawan, terdapat 18 orang yang gemar bulu tangkis, 16 orang gemar bola basket, dan 12 orang gemar dua-duanya.

Gambarlah diagram Venn yang menunjukkan pernyataan di atas.

Tentukan jumlah olahragawan tersebut.

Penyelesaiannya:

Gambar diagram Venn yang menunjukkan pernyataan di atas adalah

jumlah olahragawan tersebut adalah 22 orang

Contoh Soal 6

Diagram Venn di bawah ini menunjukkan kesukaaan dari sekelompok siswa terhadap tiga mata pelajaran di sekolah.

Berapa orang yang gemar matematika saja?

Berapa orang yang gemar olahraga saja?

Berapa orang yang gemar kesenian saja?

Berapa orang yang gemar matematika dan olahraga?

Berapa orang yang gemar matematika dan kesenian?

Berapa orang yang gemar ketiga-tiganya?

Penyelesaiannya:

gemar matematika saja = 24 orang

gemar olahraga saja = 20 orang

gemar kesenian saja = 10 orang

gemar matematika dan olahraga =  2+15 = 17 orang

gemar matematika dan kesenian = 4+15 = 19 orang

gemar ketiga-tiganya = 15 orang

Contoh Soal 7

Siswi-siswi salah satu SMP Negeri di Jakarta mengikuti lomba memasak, dan menjahit. Yang mengikuti lomba berjumlah 30 orang. Setelah selesai dikelompokkan, 18 orang gemar memasak, 17 orang gemar menjahit dan 12 orang gemar memasak dan menjahit.

Tentukan pernyataan di atas dalam diagram Venn.

Hitung berapa siswi yang tidak gemar dua-duanya.

Penyelesaiannya:

Gambar diagram Venn yang menunjukkan pernyataan di atas adalah

jumlah siswi yang tidak gemar dua-duanya ada 9 orang